順序環

抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、英: Ordered ring）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、R が順序環であるとき、任意の元 a, b, c ∈ R に対し、以下の二つが成り立つ。

a ≤ b ならば a c ≤ b c.
0 ≤ a かつ 0 ≤ b ならば 0 ≤ ab.

例

順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 $\mathbb {Z}$ 、有理数全体の成す集合 $\mathbb {Q}$ 、実数全体の成す集合 $\mathbb {R}$ はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合 $\mathbb {C}$ はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。

正元

実数の集合における概念のアナロジーとして、0 < c である元 c は正、c < 0 である元 c を負の元と呼ぶ。0 は正でも負でもないとする。

順序環 R の正元全体の成す集合をしばしば R と表記する。

絶対値

順序環 R の任意の元 a に対し、以下のように絶対値 |a| を定めることができる。

|a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

ここで −a は a の加法逆元である。

離散順序環

0 と 1 との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 Z などがその例であり、有理数全体の集合 Q や実数全体の集合 R はそうではない。

性質

Rの任意の元 a, b, c に対し、

a ≤ b かつ 0 ≤ c ならば ac ≤ bc。この性質を順序環の定義に用いることもある。
|ab| = |a| |b|。
自明でない順序環は無限環である。
次の3つのうち、いずれか一つのみが成り立つ: a は正、−a は正、あるいは a = 0。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、 $\mathbb {C}$ が順序環にはならないことが従う。
順序環 R の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り R は零因子を持たない。
任意の 0 でない元の2乗は正になる。実際、a ≠ 0 で a = b² であるとすると、b ≠ 0 かつ a = (-b )² となる。上述の性質より b か −b のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より a も正である。