タクシー数

n 番目のタクシー数（タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。

「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。

なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。

概要

与えられた正の整数 N に対し、不定方程式

${\displaystyle x^{3} y^{3}=N}$

の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y³ < N であるため）。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。

任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると

${\displaystyle x^{3} y^{3}=m}$

は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 ${\displaystyle (x_{i}/d_{i},y_{i}/d_{i})(i=1,2,\ldots ,k)}$ を選んで分母を払うことにより

${\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3} (y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}}$

が成り立つ。 ${\displaystyle N=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3}}$ ととれば ${\displaystyle s(N)\geq k}$ が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。

一般に F が3次形式で

${\displaystyle F(x,y)=m_{0}}$

が階数 r の楕円曲線を与えているとき、

${\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}}$

の解の個数が > c(log m)^{r/(r 2)} となる m が無数に存在する（c> 0 は F と m₀ のみに依存し d には依存しない）。

${\displaystyle x^{3} y^{3}=657}$

は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって

${\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N}$

となる N が無数に存在する。したがって

${\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})}$

が無数の n に対して成り立つ。

既知のタクシー数

現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（オンライン整数列大辞典の数列 A011541参照）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3} 1^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3} 12^{3}\\&=9^{3} 10^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3} 436^{3}\\&=228^{3} 423^{3}\\&=255^{3} 414^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3} 19083^{3}\\&=5436^{3} 18948^{3}\\&=10200^{3} 18072^{3}\\&=13322^{3} 16630^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3} 365757^{3}\\&=107839^{3} 362753^{3}\\&=205292^{3} 342952^{3}\\&=221424^{3} 336588^{3}\\&=231518^{3} 331954^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3} 28906206^{3}\\&=3064173^{3} 28894803^{3}\\&=8519281^{3} 28657487^{3}\\&=16218068^{3} 27093208^{3}\\&=17492496^{3} 26590452^{3}\\&=18289922^{3} 26224366^{3}\end{aligned}}}$

タクシー数の上限

以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq 24885189317885898975235988544&=2648660966^{3} 1847282122^{3}\\&=2685635652^{3} 1766742096^{3}\\&=2736414008^{3} 1638024868^{3}\\&=2894406187^{3} 860447381^{3}\\&=2915734948^{3} 459531128^{3}\\&=2918375103^{3} 309481473^{3}\\&=2919526806^{3} 58798362^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)\leq 50974398750539071400590819921724352&=299512063576^{3} 288873662876^{3}\\&=336379942682^{3} 234604829494^{3}\\&=341075727804^{3} 224376246192^{3}\\&=347524579016^{3} 208029158236^{3}\\&=367589585749^{3} 109276817387^{3}\\&=370298338396^{3} 58360453256^{3}\\&=370633638081^{3} 39304147071^{3}\\&=370779904362^{3} 7467391974^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)\leq 136897813798023990395783317207361432493888&=41632176837064^{3} 40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3} 32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3} 31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3} 28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3} 15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3} 8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3} 5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3} 4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3} 1037967484386^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3} 15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3} 12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3} 11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3} 10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3} 5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3} 3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3} 2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3} 1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3} 904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3} 391313741613522^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=381087194739069520^{3} 316469686016945240^{3}\\&=385744811881975000^{3} 309479752750029680^{3}\\&=390662458762053660^{3} 301539992238035460^{3}\\&=392138457234189120^{3} 299032406381730840^{3}\\&=426267111265435440^{3} 212424209933109720^{3}\\&=426887616463852180^{3} 209891877907138700^{3}\\&=428126038425768228^{3} 204623083640747772^{3}\\&=438609133406051160^{3} 138573856797762960^{3}\\&=439653507772479000^{3} 127174000598779680^{3}\\&=443138459854855128^{3} 27089483598685872^{3}\\&=443171971973855943^{3} 5134510178400057^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=21721970100126962640^{3} 18038772102965878680^{3}\\&=21987454277272575000^{3} 17640345906751691760^{3}\\&=22267760149437058620^{3} 17187779557568021220^{3}\\&=22351892062348779840^{3} 17044847163758657880^{3}\\&=24297225342129820080^{3} 12108179966187254040^{3}\\&=24332594138439574260^{3} 11963837040706905900^{3}\\&=24403184190268788996^{3} 11663515767522623004^{3}\\&=25000720604144916120^{3} 7898709837472488720^{3}\\&=25060249943031303000^{3} 7248918034130441760^{3}\\&=25258892211726742296^{3} 1544100565125094704^{3}\\&=25260575914339118080^{3} 771180546485662040^{3}\\&=25260802402509788751^{3} 292667080168803249^{3}\end{aligned}}}$

発見の歴史

ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にバーナード・フラン・ベッシーによって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは

${\displaystyle X^{3} Y^{3}=Z^{3} W^{3}}$

の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した：

${\displaystyle X=t(1-(a-3b)(a^{2} 3b^{2})),Y=t((a 3b)(a^{2} 3b^{2})-1),Z=t((a 3b)-(a^{2} 3b^{2})^{2}),W=t((a^{2} 3b^{2})^{2}-(a-3b)).}$

ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない（もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは

${\displaystyle (9t^{4})^{3} (9t^{3} 1)^{3}=(9t^{4} 3t)^{3} 1}$

を発見している（t = 1 とおくとタクシー数を得る）。

Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば

ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式

${\displaystyle (6A^{2}-4AB 4B^{2})^{3} (-3A^{2}-5AB 5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB 6B^{2})^{3} (5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}$

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には

${\displaystyle X^{3} Y^{3}=Z^{3}\pm 1}$

の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている。

ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。ジョン・リーチは1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された。

より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり1³以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x³ y³と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。

15170835645

= 517³ 2468³

= 709³ 2456³

= 1733³ 2152³.

4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。

1801049058342701083

= 92227³ 1216500³

= 136635³ 1216102³

= 341995³ 1207602³

= 600259³ 1165884³.

（オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照）

上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、

${\displaystyle x^{3} y^{3}=N}$

の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると

${\displaystyle s(N)$

となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは

${\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)} 1)}$

が成り立つ。

脚注

参考文献

• Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001 
• Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft 
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
• Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2. 
• Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8. 
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ y³ = z³ w³ = u³ v³ = m³ n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった）
• D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) q(b) = r(c) s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
• C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
• Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28: 1-7. doi:10.1112/jlms/s2-28.1.1. MR0703458. 
• Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66: 395-404. doi:10.1007/BF01389220. MR0662599. 

関連項目

• キャブタクシー数
• 一般化タクシー数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Taxicab Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
• Taxicab and other maths at Euler