新谷のゼータ函数

数学において、 新谷のゼータ函数(Shintani zeta function) または 新谷のL-函数(Shintani L-function) とはリーマンゼータ函数の一般化である。新谷卓郎(1976)によってはじめて研究された。この関数は特殊な場合として、フルヴィッツのゼータ函数、バーンズのゼータ函数、ウィッテンのゼータ函数を含む。

定義

(s₁, ..., s_k)で定まる新谷のゼータ函数は次の式で与えられる。

${\displaystyle \sum _{n_{1},\dots ,n_{m}\geq 0}{\frac {1}{L_{1}^{s_{1}}\cdots L_{k}^{s_{k}}}},}$

ここで、それぞれの L_j は非斉次の (n₁, ... ,n_m)の線形函数である。特殊な場合として、k = 1であるときはバーンズのゼータ函数となる.

参考文献

• Hida, Haruzo (1993), Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, London Mathematical Society Student Texts, 26, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43411-9, MR1216135, Zbl 0942.11024 
• Shintani, Takuro (1976), “On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers”, Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics 23 (2): 393–417, ISSN 0040-8980, MR0427231, Zbl 0349.12007